---
url: https://xuehaizhixing.com/root/B01-数论基础/M02-同余理论/S01/B01-M02-S01-U03.md
---

# 一、模块层

* **知识点编号**：B01-M02-S01-U03
* **所属模块**：B01 → M02 → S01

## 纵向关联

* 上接：
  * 无
* 下启：
  * [模幂运算初步题根](/root/B01-数论基础/M02-同余理论/S01/B01-M02-S01-U04)

## 知识关联

### 横向关联

* 前置基础：
  * [短除法求lcm题根](/root/B01-数论基础/M01-整除与质数/S04/B01-M01-S04-U02)
  * [整除的可加性题根](/root/B01-数论基础/M01-整除与质数/S05/B01-M01-S05-U02)
* 同位衔接：
  * `除法题根`
  * `等积变形题根`
  * `切线长定理题根`
* 后续延伸：
  * [函数积性证明题根](/root/B01-数论基础/M04-数论函数与进阶技巧/S01/B01-M04-S01-U05)
  * [因数分解法题根](/root/B01-数论基础/M03-不定方程/S05/B01-M03-S05-U03)
  * [gcd与线性组合题根](/root/B01-数论基础/M01-整除与质数/S03/B01-M01-S03-U06)
  * [指数型方程形式题根](/root/B01-数论基础/M03-不定方程/S05/B01-M03-S05-U01)
  * [模分析题根](/root/B01-数论基础/M03-不定方程/S06/B01-M03-S06-U02)
  * [τ(n)计算题根](/root/B01-数论基础/M04-数论函数与进阶技巧/S01/B01-M04-S01-U01)
  * [μ(n)定义与性质题根](/root/B01-数论基础/M04-数论函数与进阶技巧/S01/B01-M04-S01-U03)
  * [同余法求解题根](/root/B01-数论基础/M03-不定方程/S05/B01-M03-S05-U02)

# 二、本源层

* **本源**：乘法保持同余而除法需要互素——这揭示了模运算从环到域的分水岭。乘法法则$ac\equiv bd\pmod{m}$直接来自定义，但除法（乘以逆元）仅在除数与模互素时成立。这一差异的本质在于：模$m$下可逆元恰好是与$m$互素的那些元素，当$m$为素数时所有非零元均可逆，构成域$\mathbb{F}\_p$。
* **原点**：
  若$a\equiv b\pmod{m}$且$c\equiv d\pmod{m}$，则$ac\equiv bd\pmod{m}$。乘法直接保持同余关系。而除法不同：若$\gcd(c,m)=1$，存在$c^{-1}$使$c c^{-1}\equiv1\pmod{m}$，此时$ac\equiv bc\Rightarrow a\equiv b$。若$\gcd(c,m)\neq1$，$c$在模$m$下没有逆元，除法不成立。

从更形式化的角度审视，这里的数学结构可以进一步抽象。如果将满足该性质的对象构成的集合记为某一类，则该集合在相应的运算下具有封闭性——这是代数结构的雏形。

这一原点是连接直觉与形式的桥梁：一边是直觉层面朴素易懂的分类观念，另一边是严格的形式化系统。理解这个连接点，才能真正从“感觉懂了”过渡到“严格证明了”。

特别要注意的是，原点的选取方式不是唯一的，但不同选取方式最终构建出来的理论体系应当是等价的——这是数学中公理系统等价性的思想萌芽。

* **道法**：
  **首锚·代数结构思想**：模乘法保持同余而模除法需要互素——$ac\equiv bd$直接来自定义，但除法（乘以逆元）仅在除数与模互素时成立，这是代数结构从环到域的分水岭。
  **次锚·不变量思想**：模乘运算中模数$m$保持不变的深层原因——差的代数式中$m$始终是公因子，不变量思想解释了为什么乘法可以任意进行而除法需要额外条件。
  **三锚·同余与模结构**：学会了模逆元和消去条件，以后解一次同余方程、理解中国剩余定理乃至RSA加密原理时，都能以"可逆则除，不逆则废"作为核心判断准则。
  **解题三问**：①乘除结果是否保持模不变？②除法运算前是否检查互素条件？③不互素时如何处理？
  关键心法：乘则同余不动如山，除以逆元为桥开路；互素方可逆元存在，不互无逆只得绕行。
* **终极一句话**：$ac\equiv bd\pmod{m}$（乘法保持），$ac\equiv bc\wedge\gcd(c,m)=1\Rightarrow a\equiv b$（除法需互素）——模乘法可直接逐项相乘，而模除法必须转化为乘以逆元，逆元存在的充要条件是除数与模互素，这是代数结构中环与域的本质区别，也是解一次同余方程和中国剩余定理的核心工具。
* **数学思想进化轴**：欧几里得《几何原本》中已有整数乘法的整除传递性质（公元前300年）→高斯《算术研究》（1801）系统建立同余乘法理论，证明$ac\equiv bd\pmod{m}$以及逆元存在性定理——逆元存在当且仅当$\gcd(c,m)=1$，这是同余理论的核心定理之一→扩展欧几里得算法（古代中国"更相减损术"→现代算法形式）成为求模逆元的标准工具，可在$O(\log m)$时间内高效求解→模乘法在RSA加密（Rivest-Shamir-Adleman, 1977）中成为公钥密码学的核心运算，加密$c\equiv m^e\pmod{n}$和解密$m\equiv c^d\pmod{n}$全部依赖模乘法和模逆元的性质。

从认知发展的角度来看，该知识点的进化路径体现了数学思维从具体到抽象的跃迁——最初人们只是在日常计算中积累了零散经验，随后通过系统化整理形成了一般的判断方法，最终抽象为严格的数学理论。这一过程中每一次质的飞跃都源于对已有方法的反思和追问。

# 三、知识点层

* **知识点编号**：B01-M02-S01-U03
* **名称**：模乘除运算题根
* **标准定义**：
* 同余乘法法则：若$a\equiv b\pmod{m}$且$c\equiv d\pmod{m}$，则$ac\equiv bd\pmod{m}$。证明：$a-b=mk_1$，$c-d=mk_2$，则$ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)=a m k_2+d m k_1=m(a k_2+d k_1)$。该法则是模乘法运算的基本规则，直接类比普通乘法的逐项相乘，是模算术中最常用的运算性质之一。
  * 模逆元定义：若$\gcd(c,m)=1$，则存在唯一的整数$c^{-1}$（模$m$）使得$c c^{-1}\equiv1\pmod{m}$。$c^{-1}$称为$c$的模$m$逆元。当$m$为质数时，每个非零元素都有逆元。逆元存在性的证明由扩展欧几里得算法保证。
  * 模除法运算法则：若$\gcd(c,m)=1$，则$a\div c\equiv a c^{-1}\pmod{m}$。注意$m$下的除法定义为乘以逆元，而不是真正的整数除法。模除法与普通除法有本质区别：前者是乘以逆元，后者是直接相除。

从等价关系角度看，这一定义实际上建立了一个划分：它将所有可能的情形分为互不相交的两类，且覆盖了全集。这是一个最简单的二元分类系统。

在实际解题中，这一定义提供了三种判定策略：(1)正面验证——直接检查条件是否成立；(2)反面排除——检查是否属于另一类来确定；(3)等价转化——利用该定义的某个等价刻画来判定。

该定义还有一个重要推论：若某对象满足定义条件，则它自动具有该类别的一切性质；反之，若某性质在某对象上不成立，则该对象必不属于此类别。

* **核心本质**：
  **同余乘法保持模不变，但除法（乘以逆元）仅在除数与模互素时成立——这揭示了逆元存在性完全由$\gcd(c,m)=1$决定，也是模素数构成域而模合数仅构成环的根本原因。模乘法的证明$ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$直接展示了两项都含$m$的因子，因此和也是$m$的倍数。而除法转化为乘以逆元的关键步骤在于：存在整数$x,y$使$cx+my=1$（由互素保证），从而$cx\equiv1\pmod{m}$得到逆元$x=c^{-1}$。当$m$为素数时每个非零元都与$m$互素，因此都有逆元，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$构成域；当$m$为合数时部分元素无逆元，$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$仅为环。** 锁死·拓展应用层通用内容

这一本质深刻揭示了一个事实：表面上的数值多样性掩盖了底层的结构统一性。一旦掌握了这个统一性，看似千变万化的问题都可以归结为同一种分析框架来处理。

* **核心性质**：
  * 性质一：乘法封闭性——同余式两边可同时乘以任意整数$k$：$a\equiv b\pmod{m}\Rightarrow ka\equiv kb\pmod{m}$。这来自乘法法则的直接推论（取$c=d=k$），与$k$和$m$是否互素无关。这是模乘最强大的性质之一。
  * 性质二：逆元唯一性——若$\gcd(c,m)=1$，则$c$在模$m$下的逆元存在且唯一。存在性由扩展欧几里得算法保证：存在$x,y$使$cx+my=1$，则$cx\equiv1\pmod{m}$。唯一性：若$cx\equiv cy\equiv1$，则$c(x-y)\equiv0$，$m\mid c(x-y)$，$\gcd(c,m)=1\Rightarrow m\mid(x-y)$。
  * 性质三：消去律条件——$ac\equiv bc\pmod{m}$不能直接推出$a\equiv b\pmod{m}$，除非$\gcd(c,m)=1$。反例：$2\times3\equiv2\times5\pmod{4}$即$6\equiv10\pmod{4}$成立，但$3\not\equiv5\pmod{4}$。消去律的生效条件是$c$与$m$互素。
  * 性质四：模素数域结构——当$m=p$为质数时，${0,1,\ldots,p-1}$在加法和乘法下构成域$\mathbb{F}\_p$：每个非零元都有乘法逆元。威尔逊定理$(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$就是模$p$乘法群结构的一个深刻结论。

# 四、教案版本

## 【专业版】

### 【基础层例题】

已知$3\equiv10\pmod{7}$，$4\equiv11\pmod{7}$，求$(3\times4)$模$7$同余于何数。

* **解题思路**：①提取条件：已知$3\equiv10$和$4\equiv11\pmod{7}$，要求$3\times4$模$7$的值。②参照范例步骤：像范例那样，既直接计算原数$3\times4$取模，又用同余替换后的数$10\times11$取模，两种方法结果一致则验证了模乘法法则。③预判答案：结果为$5$。
* **标准解答**：$3\times4=12\equiv5\pmod{7}$。或$10\times11=110\equiv110-7\times15=110-105=5\pmod{7}$。两种方式结果一致，验证了模乘法法则。
  上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。
  这道题还可以从另一个角度切入：通过构造等价条件或转化视角，往往能得到更简洁的解法。
  验证是解题的重要环节——将答案代回原题检验是否满足所有条件，既能确认正确性，也能培养良好的解题习惯。
  从思维训练的角度看，这道题考察的核心能力是在复杂条件中识别出可应用该知识点的结构特征——这种识别能力是数学素养的重要组成部分。
  上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。### 【易错变式题】
  解同余方程$3x\equiv1\pmod{7}$。
* **常见错误**：①错误行为：学生解$3x\equiv1\pmod{7}$时会直接写$x\equiv\frac{1}{3}$，把分数形式强加到模运算中。②认知原因：因为参照普通方程$3x=1$的解法时没注意到模运算下不能直接做除法，需要先验证$\gcd(3,7)=1$再求模逆元。③忽视点：关键是没有识别出模算术中"除法"的本质是乘以逆元而非传统除法，分数表示在模下无效。
* **标准解答**：求$3$模$7$的逆元。$3\times5=15\equiv1\pmod{7}$，故$3^{-1}\equiv5\pmod{7}$。两边同乘$5$：$x\equiv1\times5=5\pmod{7}$。验算：$3\times5=15\equiv1\checkmark$。答案：$x\equiv5\pmod{7}$。；上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。；这道题还可以从另一个角度切入：通过构造等价条件或转化视角，往往能得到更简洁的解法。；验证是解题的重要环节——将答案代回原题检验是否满足所有条件，既能确认正确性，也能培养良好的解题习惯。；这道题的核心考点是考查学生对基本概念的准确理解——只有概念清晰，才能从题目条件中识别出可用的结论。；解答这类问题时，建议先明确已知条件与所求目标之间的逻辑关系，再进行逐步推导，避免跳步导致的逻辑漏洞。

从思维训练的角度看，这道题考察的核心能力是在复杂条件中识别出可应用该知识点的结构特征——这种识别能力是数学素养的重要组成部分。### 【高阶例题】
解同余方程组：$x\equiv2\pmod{5}$，$x\equiv3\pmod{7}$。

* **方法策略**：①问题类型：这是中国剩余定理的简单形式变式，条件从单个同余方程变成了两个不同模下的同余方程组。②方法选择：虽然模数不同（$5$和$7$），但核心方法还是设代法结合模逆元，因为代入后转化为模$7$下的一次同余方程。③分类/步骤：分三步做——先设$x=5k+2$代入$5k+2\equiv3\pmod{7}$，再求$5$的模$7$逆元解出$k\equiv3\pmod{7}$，最后回代得到$x\equiv17\pmod{35}$。
* **标准解答**：设$x=5k+2(k\in\mathbb{Z})$。代入$x\equiv3\pmod{7}$得$5k+2\equiv3\pmod{7}\Rightarrow5k\equiv1\pmod{7}$。求$5$模$7$的逆元：$5\times3=15\equiv1\pmod{7}$，故$5^{-1}\equiv3$。两边乘$3$：$k\equiv3\pmod{7}$。设$k=7m+3$，则$x=5(7m+3)+2=35m+17$。故$x\equiv17\pmod{35}$。答案：$x\equiv17\pmod{35}$。

##

上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。【药典版】

### 定位：模运算的"乘除法则"——乘可直行，除需逆径，逆元互素是关键

#### 🌱 药材本体

* **第一味药——乘法保持**：$a\equiv b\pmod{m}$且$c\equiv d\pmod{m}\Rightarrow ac\equiv bd\pmod{m}$。同余乘法与加减法一样保持模不变，可直接相乘。如$2\equiv7\pmod{5}$、$3\equiv8\pmod{5}$，则$6\equiv56\equiv1\pmod{5}$。
* **第二味药——模逆元**：若$\gcd(a,m)=1$，存在唯一$a^{-1}$使$a a^{-1}\equiv1\pmod{m}$。逆元是"模下的倒数"，它使除法操作成为可能。如$3^{-1}\equiv2\pmod{5}$因为$3\times2=6\equiv1$。
* **第三味药——消去条件**：$ac\equiv bc\pmod{m}$在$\gcd(c,m)=1$时可消去$c$得$a\equiv b$。反例：$2\times4\equiv2\times1\pmod{6}$即$8\equiv2$成立，但$4\not\equiv1\pmod{6}$因为$\gcd(2,6)=2\neq1$。
* **第四味药——域与环的分水岭**：模$p$（素数）下每个非零元可逆→$\mathbb{F}\_p$是域；模合数$m$下部分元素不可逆→$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$是环。这是域与环的根本区别。
* **药材核心药性**：乘则同余不动，除需逆元为桥，"可逆则除，不逆则废"。
  这一数学概念的核心特性在于其基础性和工具性——它不仅是解决问题的基础工具，更是连接不同知识模块的桥梁。

#### 🛠️ 功能主治

* **主治**：不会进行模乘法运算或混淆模乘和模除——认为乘法和除法一样直接
* **解决**：不知道模除法需要乘逆元——在面对$ac\equiv bc$时直接约去$c$而忽略互素条件
* **根治**：对$\gcd(a,m)=1$与逆元存在性的关系不理解——不知逆元存在条件就是互素
* **打通**：从模乘法→模逆元→消去律条件→$\mathbb{F}\_p$域结构→密码学应用的认知体系

#### 🧪 核心药方

1、**乘法封闭方**——直接相乘，模不变：$a\equiv b$、$c\equiv d\Rightarrow ac\equiv bd$。适用于直接计算乘积模值。适配基础表达阶
2、**逆元求解方**——用$\gcd(a,m)=1$判断逆元存在，用扩展欧几里得算法（或小范围枚举）求逆元：$a x\equiv1\pmod{m}$的解$x$即$a^{-1}$。适配进阶表达阶
3、**消去条件方**——面对$ac\equiv bc$，先判断$\gcd(c,m)$：若为$1$则$a\equiv b$；若不为$1$则不能直接消去，需讨论通解。适配高阶表达阶

#### 🌌 药理

**乘可直行，除需逆径；逆元存否，全在互素。**

模乘法法则的证明直接来自同余定义：$ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$，两边都含有$m$的因子。这一证明如此简洁优雅，是高斯《算术研究》中最早给出的同余性质之一。而模除法（乘以逆元）是整个基础数论中最具"陷阱感"的概念——学生天然认为"同余除法等于整数除法"，但$2\times3\equiv2\times5\pmod{4}$中约去$2$就出错。背后的数学深度在于：整数的整除不具有唯一的"除法"操作，因为$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$只有在$m$为素数时才是一个域。在竞赛中，模逆元是解决一次同余方程$a x\equiv b\pmod{m}$的核心工具，而中国剩余定理的本质就是将多个互素模的同余方程通过逆元"组装"起来。从更广阔的视角看，判定一个元素是否有逆元（即$\gcd(a,m)=1$）等价于判断$a$是否属于乘法群$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}^\times$，这是通向抽象代数群论的大门。

#### 👨‍🏫 老师修炼阶梯

* **基础表达**：用数值演示模乘法——$(3\times4)\bmod7=5$，$(10\times11)\bmod7=5$，两者相等。让学生"看见"乘法法则成立。对模除法，先展示$3x\equiv1\pmod{7}$中的$x$通过枚举$0-6$找到$5$。
* **进阶表达**：讲解扩展欧几里得算法求逆元——$ax+my=1\Rightarrow ax\equiv1\pmod{m}$。用$3x\equiv1\pmod{7}$演示：$7=3\times2+1$，$1=7-3\times2$，故$3\times(-2)=1-7$，$-2\equiv5\pmod{7}$。关联互素与逆元存在。
* **高阶表达**：强调消去律的条件——构造反例$2\times3\equiv2\times5\pmod{4}$（成立但$3\not\equiv5$），让学生自己发现$\gcd(2,4)=2\neq1$是问题所在。
* **顶阶表达**：从模乘法的保持性上升到环论——在$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$中，乘法的封闭性和结合性使之成为交换环。当$m$为素数时非零元全体构成乘法群，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$成为域。对比$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$中$2$无逆元。

#### 🗣️ 一句话封神

$ac\equiv bd\pmod{m}$（乘则同余）；$ac\equiv bc\wedge\gcd(c,m)=1\Rightarrow a\equiv b$（除需互素）。
数学学习的关键不在于刷了多少题，而在于是否建立了知识之间的联系——当不同模块的知识在心中形成网络，解题就不再是搜索记忆而是自然涌现。
真正的高手不是记得多少公式，而是能看到不同方法背后的统一思想——这就是数学的眼光。#### 🩺 一眼诊断

* **乘法盲目型**：会做模乘法但不会证明——不理解$ac-bd$为何能被$m$整除。→ 展示分解$ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$，两项都是$m$的倍数。
* **除法定势型**：认为模除法与普通除法一样直接——在$ac\equiv bc$中直接写$a\equiv b$。→ 给出反例$2\times3\equiv2\times5\pmod{4}$，强调消去的条件是$\gcd(c,m)=1$。
* **逆元缺失型**：不知如何求逆元或认为逆元都不存在。→ 教授扩展欧几里得算法，并用枚举法演示小模下的逆元求法。
* **域环混淆型**：将模合数当成域来使用——假设模合数下所有非零元素都有逆元。→ 指出$2$在模$6$下不可逆（因为$2x\equiv1\pmod{6}$无解），强调模素数与模合数的本质区别。

#### 🧭 导航路径

* **步行（L1-L2）** → 对标
  1. 已知$2\equiv9\pmod{7}$，$3\equiv10\pmod{7}$，求$2\times3$模$7$的值。
     * 解答提示：直接相乘：$2\times3=6\equiv6\pmod{7}$。用同余式验证：$9\times10=90$，$90\div7=12$余$6$，一致。答案：$6$。

> 进一步引导：这个步骤的关键在于区分干扰信息和关键信息——题目中看似复杂的条件往往只有少数几个与分类判定直接相关，学会筛选信息本身就是重要的数学素养。

2. 判断$2x\equiv1\pmod{4}$是否有解。
   * 解答提示：$2x\equiv1\pmod{4}$即$2x-1$被$4$整除。$2x$恒为偶数，$2x-1$恒为奇数，不可能是$4$（偶数）的倍数。所以无解。原因：$\gcd(2,4)=2\neq1$，$2$在模$4$下无逆元。答案：无解。

> 深度解析：这里运用的实际上是反证法的思想雏形——通过分析奇偶性矛盾来证明某些情形不可能发生。不变量思想与反证法结合，是竞赛中最强大的组合工具之一。

3. 求$3$模$7$的逆元。
   * 解答提示：即求$x$使$3x\equiv1\pmod{7}$。枚举$x=0,1,\ldots,6$：$3\times1=3$，$3\times2=6$，$3\times3=9\equiv2$，$3\times4=12\equiv5$，$3\times5=15\equiv1\checkmark$。答案：$3^{-1}\equiv5\pmod{7}$。

> 思维延伸：将这个问题稍作变换——如果把条件中的某条规则改一下，结论是否还成立？这种改变条件观察变化的思维训练，有助于真正理解规则的本质。

> 进一步引导：这个步骤的关键在于区分干扰信息和关键信息——题目中看似复杂的条件往往只有少数几个与分类判定直接相关，学会筛选信息本身就是重要的数学素养。养成先筛选再判断的习惯，能大幅提升解题速度和准确性。

* **刚性达标阈值**：掌握基础概念，正确率≥90%
* **骑车（L3-L4）** → 对标
  1. 解同余方程$5x\equiv2\pmod{11}$。
     * 解答提示：求$5$模$11$的逆元。枚举或扩展欧几里得：$5\times9=45\equiv1\pmod{11}$，故$5^{-1}\equiv9$。两边乘$9$：$x\equiv2\times9=18\equiv7\pmod{11}$。验算：$5\times7=35\equiv2\pmod{11}\checkmark$。

  2. 解同余方程组：$x\equiv1\pmod{3}$，$x\equiv2\pmod{5}$。
     * 解答提示：设$x=3k+1$，代入第二个：$3k+1\equiv2\pmod{5}\Rightarrow3k\equiv1\pmod{5}$。$3$模$5$的逆元为$2$，$k\equiv2\pmod{5}$。设$k=5m+2$，则$x=3(5m+2)+1=15m+7$。答案：$x\equiv7\pmod{15}$。

> 条件转化：题目中的条件往往可以转换为等价的数学语言。本题的条件等价于什么？将自然语言翻译为数学表达式的过程本身就是解题的关键一步，很多卡顿都发生在这个翻译环节。

3. 证明：若$\gcd(a,m)=1$，则$a$模$m$的逆元唯一。
   * 解答提示：假设$a$有两个逆元$b$和$c$：$ab\equiv1\pmod{m}$且$ac\equiv1\pmod{m}$。则$ab\equiv ac\Rightarrow a(b-c)\equiv0\pmod{m}$。$\gcd(a,m)=1$可推出$m\mid(b-c)$，故$b\equiv c\pmod{m}$。证毕。

上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。- **刚性达标阈值**：能灵活运用解决变式问题，正确率≥85%

* **开车（L5-L6）** → 对标
  1. 求$2^{100}$模$101$的逆元。
     * 解答提示：由费马小定理，$101$为素数且$\gcd(2,101)=1$，故$2^{100}\equiv1\pmod{101}$。所以$2^{100}\times2^{100}\equiv1^2=1\pmod{101}$，即$2^{100}$的逆元就是它本身$(2^{100})^{-1}\equiv2^{100}\pmod{101}$。答案：$2^{100}$。
  2. 解同余方程组：$3x\equiv2\pmod{5}$，$5x\equiv4\pmod{7}$，$7x\equiv6\pmod{11}$。
     * 解答提示：三个方程独立，分别解。$(i)$ $3^{-1}\equiv2\pmod{5}$，$x\equiv2\times2=4\pmod{5}$。$(ii)$ $5^{-1}\equiv3\pmod{7}$，$x\equiv4\times3=12\equiv5\pmod{7}$。$(iii)$ $7^{-1}\equiv8\pmod{11}$（$7\times8=56\equiv1$），$x\equiv6\times8=48\equiv4\pmod{11}$。然后利用中国剩余定理合并。答案：$x\equiv1199\pmod{385}$（或更小等价解）。
  3. 证明威尔逊定理：$(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$（$p$为素数）。
     * 解答提示：模$p$下，$2$到$p-2$中的每个数$a$都有唯一的逆元$a^{-1}\neq a$（因为$a^2\equiv1$的解只有$a\equiv\pm1$）。将这些数与其逆元配对相乘得$1$。剩下$1$和$p-1$，$1\times(p-1)\equiv-1$。故$(p-1)!\equiv1\times(p-1)\equiv-1\pmod{p}$。证毕。
  * **刚性达标阈值**：能综合解决复杂问题，正确率≥80%