一、模块层

• 知识点编号：B01-M01-S06-U03
• 所属模块：B01 → M01 → S06

纵向关联

• 上接：
  • 带余除法基本定理题根
• 下启：
  • 无

知识关联

横向关联

• 前置基础：
  • 根式有意义条件题根
  • 乘法单调性题根
• 同位衔接：
  • 最不利原则题根
  • 原理2理解题根
  • 十字相乘法题根
• 后续延伸：
  • 原根存在性题根
  • 欧拉判别法题根
  • 特殊技巧题根
  • 同余法求解题根
  • 离散对数初步题根
  • 非互质模化简题根
  • 费马小定理推广题根
  • 原根定义题根

二、本源层

• 本源： 同余记号 $\equiv$ 的核心含义：$a\equiv b\pmod{m}$ 表示 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，即 $m\mid(a-b)$。符号 $\equiv$ 形如等号 $=$ 但特地多出一横，意在暗示读者：这是"模 $m$ 意义下的相等"——似等而非等，既借用了等号的运算直觉又保留了模数的存在感。

从更根本的层面看，这一性质来源于数学对象在某种变换下的不变性。抓住这个不变性，就抓住了概念最核心的直觉。

• 原点：高斯的符号革命（1801年）——在1801年之前，数论家们不得不使用冗长的文字来描述"两个整数的差恰好是第三个整数的倍数"这一基本关系，不仅表述繁琐而且难以进行代数运算。高斯在《算术研究》中创造性地引入 $\equiv$ 这一全新记号，将同余关系"等式化"：$a\equiv b\pmod{m}$ 不仅比"存在整数 $k$ 使得 $a-b=mk$"简洁了数倍，更关键的是——$\equiv$ 与 $=$ 的高度相似性暗示了同余式可以像等式一样进行移项、加减乘等代数操作。这一符号发明使数论从"文字数学"时代一举跨入"符号数学"时代，是数论语言史上最重要的一次范式革命。从此数论的面貌焕然一新，同余理论得以以清晰、简洁、可运算的形式呈现和传播。
• 道法：同余符号转化推理，三锚合一，层层递进。
  • 首锚·同余翻译：面对余数或整除关系的文字描述，用 $a\equiv b\pmod{m}$ 替代冗长叙述，将"两数之差被某数整除"压缩为三个字符，开启符号化表达。
  • 次锚·代数运算：在同余式中进行加减乘运算——移项加、对称乘均无条件成立，如同操作普通等式，体现抽象符号的运算兼容性。
  • 三锚·条件约简：警惕除法不兼容陷阱——$ac\equiv bc\pmod{m}$ 不能直接推出 $a\equiv b$，仅在 $\gcd(c,m)=1$ 时可约；从同余式回到整除语言时注意等价方向的切换。
• 关键心法： 符号虽简，运算俱全——一式简约，万理相通；除法需慎，模数为界——似等非等，乃数论之眼。

掌握这一心法意味着：面对一个具体问题，你的第一反应不是套公式，而是先问“这属于哪一类？”——这是从“术”到“道”的跨越。

• 终极一句话： 同余记号 $a\equiv b\pmod{m}$ 将"两数之差可被某数整除"的冗长描述压缩为三字符的简洁符号——它是数论从文字走向符号的关键一跃，让模关系拥有了等式的全部运算力量。

这句话浓缩了该概念最本质的数学事实，每一个字都经得起推敲。理解这句话，就掌握了进入该领域的钥匙。

• 数学思想进化轴：高斯《算术研究》（1801年）——年仅24岁的高斯在这部划时代著作中首次创造并系统使用同余符号 $\equiv$，开创同余理论这一数论分支，$\equiv$ 的设计巧妙借鉴等号 $=$ 但多一横以区分"通常相等"与"模相等"→狄利克雷《数论讲义》（1863年）——作为高斯的学生和继承人，狄利克雷在系统阐述和推广高斯同余理论方面做出了决定性贡献，使 $\equiv$ 成为数论领域不可替代的标准记号，并将同余方法应用于解析数论→黎曼（1859年）——在《论小于给定数的素数个数》中运用同余理论，展示了同余方法在解析数论中的深远应用→戴德金（1870年代）——在代数数论中引入理想（ideal）概念，将同余关系推广到更一般的代数结构中，$\equiv$ 从此不再局限于整数范畴→20世纪初抽象代数兴起——同余记号被广泛应用于群论、环论、域论等抽象代数分支，成为整个数学的标准符号之一，从初等数论的工具升级为抽象代数的通用语言→现代数学教育（20世纪至今）——同余记号 $\equiv$ 成为中学数学的必修内容，被视为从算术思维向代数思维过渡的重要符号桥梁。

三、知识点层

• 知识点编号：B01-M01-S06-U03
• 名称：同余记号引入题根
• 标准定义：
• 同余记号的严格定义：设 $a,b,m$ 为整数且 $m>0$，则 $a\equiv b\pmod{m}$ 读作"$a$ 同余于 $b$ 模 $m$"，其准确含义是 $m\mid(a-b)$，即 $a-b$ 是 $m$ 的整数倍。等价地，存在整数 $k$ 使得 $a=b+mk$。同余符号 $\equiv$ 由高斯在1801年首次引入，其形态与等号 $=$ 高度相似但多出一横，意在暗示"在模 $m$ 意义下的相等"——借用等号的运算直觉，同时保留模数的存在感和区分度。
  • 同余与整除的等价转化：$a\equiv0\pmod{m}\iff m\mid a$，即"$a$ 同余于 $0$ 模 $m$"等价于"$m$ 整除 $a$"。更一般地，$a\equiv r\pmod{m}$（其中 $0\le r<m$）等价于"$a$ 除以 $m$ 的余数为 $r$"。因此同余记号不仅是一种符号表示，更是一种语言翻译工具——它让"余数"和"整除"这两个概念在统一的符号框架下自由切换，使数论推理的语言成本降至最低。
  • 同余记号的代数运算规则：若 $a\equiv b\pmod{m}$ 且 $c\equiv d\pmod{m}$，则加减法规则为 $a\pm c\equiv b\pm d\pmod{m}$，乘法规则为 $ac\equiv bd\pmod{m}$，幂次规则为 $a^n\equiv b^n\pmod{m}$（$n\in\mathbb{N}^+$）。这些规则使同余式可以像普通等式一样进行代数运算，唯一的例外是除法——$ac\equiv bc\pmod{m}$ 不能直接推出 $a\equiv b\pmod{m}$，需要在 $\gcd(c,m)=1$ 的条件下才能约去公因子 $c$；更一般地，约简结果应为模 $m/\gcd(c,m)$ 下的同余关系，这体现了同余运算与等式运算之间"似等非等"的精妙差别。

从等价关系角度看，这一定义实际上建立了一个划分：它将所有可能的情形分为互不相交的两类，且覆盖了全集。这是一个最简单的二元分类系统。

• 核心本质：同余记号 $\equiv$ 是数论语言史上最重要的一次"符号革命"——它把"两数之差被某数整除"这一冗长的文字描述压缩为三字符的简洁符号表达式，并且 $\equiv$ 的形态刻意模仿等号 $=$ 但多出一横，暗示它可以像等式那样进行代数运算，同时提醒它不是完全的相等。同余记号使数论从"文字数学"走向"符号数学"，是初等数论成为一门现代数学学科的标志性里程碑。没有这一记号，同余理论的表述将如高斯之前那样冗长晦涩，更关键的是——符号的缺位将屏蔽代数运算的可能性，使数论发展被文字表述所桎梏。同余记号的设计本身是数学符号学的一次杰作：它对等号的"模仿加差异"策略，为后来诸多数学符号的创造提供了经典范本。锁死·拓展应用层通用内容
• 核心性质：
  • 性质一：等价关系三性质——同余关系满足自反性：$a\equiv a\pmod{m}$（$a-a=0$ 被任何 $m$ 整除）；对称性：若 $a\equiv b$ 则 $b\equiv a\pmod{m}$（$a-b$ 被整除则 $b-a$ 也被整除）；传递性：若 $a\equiv b$ 且 $b\equiv c$ 则 $a\equiv c\pmod{m}$（$a-c=(a-b)+(b-c)$ 是两个 $m$ 的倍数之和）。这三性使同余成为 $\mathbb{Z}$ 上的一个等价关系。
  • 性质二：与加减乘的兼容性——若 $a\equiv b$ 且 $c\equiv d\pmod{m}$，则：(1) $a\pm c\equiv b\pm d\pmod{m}$；(2) $ac\equiv bd\pmod{m}$。证明直接将定义代入：$a-b=mk$，$c-d=ml$，则 $(a\pm c)-(b\pm d)=m(k\pm l)$，$ac-bd=a(c-d)+d(a-b)=a(ml)+d(mk)=m(al+dk)$。这使同余式可以像等式一样进行加减乘运算。
  • 性质三：除法不兼容性——同余式不能随意"除以"一个数。若 $ac\equiv bc\pmod{m}$，不能直接推出 $a\equiv b\pmod{m}$。反例：$2\times3\equiv4\times3\pmod6$（$6\equiv12\pmod6$）但 $2\not\equiv4\pmod6$。正确的处理是：$ac\equiv bc\pmod{m} \Rightarrow a\equiv b\pmod{m/\gcd(c,m)}$，特别地当 $\gcd(c,m)=1$ 时可以约去 $c$。
  • 性质四：记号的历史意义——高斯在1801年选择 $\equiv$ 这一符号，是经过深思熟虑的。对比 $\equiv$ 与 $=$：两者高度相似但多了一横，暗示同余是"模 $m$ 意义下的相等"。对比 $a=b\pmod{m}$（早期用法）和 $a\equiv b\pmod{m}$（高斯用法），后者明确区分了"通常的相等"和"模意义下的相等"，避免了混淆。这一简洁的记号使同余理论的表述干净利落，极大地促进了数论的发展。

四、教案版本

【专业版】

【基础层例题】

将”17除以5余2，22除以5余2”用同余记号表示。

• 解题思路：① 观察余数关系——识别"除以某数后余数相同"的文字描述，锁定同余记号为表达工具。② 确定模数——找出共同模数 $m$，确认两数之差是 $m$ 的倍数。③ 书写同余式——用 $\equiv$ 连接两数，标注模数 $\pmod{m}$，完成文字到符号的转化。
• 标准解答：$17\equiv22\pmod5$。验证：$17-22=-5$ 是5的倍数，或两者除以5余数都是2。 上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。 这道题还可以从另一个角度切入：通过构造等价条件或转化视角，往往能得到更简洁的解法。 验证是解题的重要环节——将答案代回原题检验是否满足所有条件，既能确认正确性，也能培养良好的解题习惯。 从思维训练的角度看，这道题考察的核心能力是在复杂条件中识别出可应用该知识点的结构特征——这种识别能力是数学素养的重要组成部分。 上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。### 【易错变式题】 判断 $3\equiv-2\pmod5$ 是否正确。
• 常见错误：① 负数认知盲区——错误认为负数不能参与同余关系，忽略了同余只关心两数之差是否为模数的倍数，与数值正负无关。② 余数概念混淆——混淆"在模运算中相等"与"数值直接相等"两个概念，将 $\equiv$ 误用为常规等号，忽略了模数的存在。③ 模数遗漏——写出 $a\equiv b$ 但忘记标注模数 $m$，导致同余表达式失去完整含义，无法确定是在什么模数下讨论。
• 标准解答：正确。方法一：$3-(-2)=5$ 被5整除，故 $3\equiv-2\pmod5$。方法二：$-2=5\times(-1)+3$，余数为 $3$，与 $3$ 除以5的余数相同，故同余。验证：$-2\mod5=3$（余数非负）。；上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。；这道题还可以从另一个角度切入：通过构造等价条件或转化视角，往往能得到更简洁的解法。；验证是解题的重要环节——将答案代回原题检验是否满足所有条件，既能确认正确性，也能培养良好的解题习惯。；这道题的核心考点是考查学生对基本概念的准确理解——只有概念清晰，才能从题目条件中识别出可用的结论。；解答这类问题时，建议先明确已知条件与所求目标之间的逻辑关系，再进行逐步推导，避免跳步导致的逻辑漏洞。

从思维训练的角度看，这道题考察的核心能力是在复杂条件中识别出可应用该知识点的结构特征——这种识别能力是数学素养的重要组成部分。### 【高阶例题】 证明：若 $a\equiv b\pmod{m}$ 且 $c\equiv d\pmod{m}$，则 $ac\equiv bd\pmod{m}$。

• 方法策略：① 改写为等式——将同余条件 $a\equiv b\pmod{m}$ 转化为 $a=b+mk$ 的等式形式，便于展开代数运算。② 代入展开——将改写后的等式代入目标表达式，进行代数化简和展开。③ 提取公因子——从展开结果中提取 $m$ 的公因子，证明差为 $m$ 的倍数，回到同余记号表述完成证明。
• 标准解答：由 $a\equiv b\pmod{m}$ 得 $a=b+mk$（$k\in\mathbb{Z}$）；由 $c\equiv d\pmod{m}$ 得 $c=d+ml$（$l\in\mathbb{Z}$）。则 $ac=(b+mk)(d+ml)=bd+bml+mkd+m^2kl=bd+m(bl+kd+mkl)$。故 $ac-bd=m(bl+kd+mkl)$ 是 $m$ 的倍数，即 $ac\equiv bd\pmod{m}$。证毕。这正是同余乘法兼容性的严格证明。

上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。【药典版】

定位：模运算的”国际语言”——一剂将繁琐文字转化为简洁符号的语言方，在记号之中看见数学的优雅

🌱 药材本体

• 第一味药——符号之形：$a\equiv b\pmod{m}$——$\equiv$ 形如等号 $=$ 但多一横，暗示”模意义下的相等”。$(m)$ 指明模数，所有运算在这一模数下展开。
• 第二味药——等式转化：$a\equiv b\pmod{m} \iff a=b+mk$（$k\in\mathbb{Z}$）——同余记号转化为带 $mk$ 项的普通等式，大大便利代数操作。
• 第三味药——运算兼容：$a\equiv b, c\equiv d\pmod{m} \Rightarrow a\pm c\equiv b\pm d$ 且 $ac\equiv bd\pmod{m}$——同余式可像等式一样加减乘。
• 第四味药——除法戒备：$ac\equiv bc\pmod{m}$ 不能直接推出 $a\equiv b\pmod{m}$——除法不兼容，除非 $\gcd(c,m)=1$。这是同余式与等式的最大区别。
• 药材核心药性：以符号简约，以运算兼容，”一式简约，万理相通”。 这一数学概念的核心特性在于其基础性和工具性——它不仅是解决问题的基础工具，更是连接不同知识模块的桥梁。

🛠️ 功能主治

• 主治：用文字描述余数关系过于冗长——“$a$ 和 $b$ 的差是 $m$ 的倍数”→ $a\equiv b\pmod{m}$，省去十个字
• 解决：无法对余数关系进行代数运算——同余式可以和等式一样移项、乘除（注意条件）
• 根治：认为”模运算”是另一套完全不同的体系——同余记号的存在本身就暗示它与普通等式”亲如兄弟”
• 打通：从同余记号 $\rightarrow$ 同余式运算 $\rightarrow$ 剩余类环 $\mathbb{Z}_m\rightarrow$ 一般商环构造

🧪 核心药方

1、符号转化方——将 “$a$ 除以 $m$ 余 $r$” 翻译为 $a\equiv r\pmod{m}$；将 “$m\mid(a-b)$” 翻译为 $a\equiv b\pmod{m}$。适配基础表达阶 2、代数运算方——像处理等式一样处理同余式：移项（$a+b\equiv c \Rightarrow a\equiv c-b$）、乘法（两边同乘一个数）、幂次等。但警惕除法陷阱。适配进阶表达阶 3、同余证明方——遇到模相关问题，先用 $\equiv$ 改写条件，然后利用运算性质推导。例如证 $n^5-n$ 被30整除：$n^5-n\equiv0\pmod{2,3,5}$ 分模验证。适配高阶表达阶

🌌 药理

记号是数学思想的载体，一个精妙的记号可以照亮整个领域。 同余记号 $\equiv$ 的引入，是数论史上最具革命性的符号创新之一。在1801年高斯《算术研究》出版之前，数论家们只能用文字描述同一数学事实：”存在一个整数 $k$ 使得 $a-b=mk$”——这不仅冗长，而且不利于运算。高斯的 $\equiv$ 记号，将这一关系压缩为三个字符 $a\equiv b\pmod{m}$，并借 $\equiv$ 与 $=$ 的相似性提示读者：同余式可以像等式一样处理。 这一记号的设计极为精妙：首先，$\equiv$ 与 $=$ 很相似，暗示同余是一种”相等”（在模 $m$ 意义下）；其次，多出的一横又暗示它不是完全的相等——提醒了除法的不兼容性和模数的存在。这种”似等非等”的设计，是数学符号史上教科书级别的案例。 同余记号最强大的功能在于它的”运算兼容性”：$a\equiv b$ 和 $c\equiv d\pmod{m}$ 意味着 $a\pm c\equiv b\pm d$ 和 $ac\equiv bd\pmod{m}$。这意味着我们可以在同余式中自由地进行加减乘运算，就像在等式中一样。唯一的例外是除法——当两边的公因子与模数不互质时，不能简单约去。 在竞赛中，同余记号几乎是所有数论问题的”第一语言”——无论是求余数、判定整除、解同余方程还是研究周期性质，第一步都是用 $\equiv$ 将条件改写为同余式，然后利用运算性质推导。掌握了同余记号，就等于掌握了数论竞赛的基本语法。

👨‍🏫 老师修炼阶梯

• 基础表达：类比”≈”和”≠”——“$\equiv$ 是除法的放大镜下面看到的相等”。举日常例子：可以用”星期几相同”类比——两个日子相差7的整数倍，它们在星期几的意义上是”同余”的。
• 进阶表达：写出一组同余式，让学生像处理等式一样运算它们：如 $2x+1\equiv5\pmod7 \Rightarrow 2x\equiv4\pmod7$（移项），然后讨论能否两边除以2。
• 高阶表达：用同余记号解决经典问题——如用模3证明 $n^2+1$ 永不被3整除：$n\equiv0,\pm1\pmod3 \Rightarrow n^2\equiv0,1\pmod3 \Rightarrow n^2+1\equiv1,2\pmod3 \neq0$。
• 顶阶表达：从同余记号过渡到剩余类环 $\mathbb{Z}_m$——$\mathbb{Z}_m$ 中的每个元素是一个同余类，同余式的运算就是 $\mathbb{Z}_m$ 中的运算。当 $m=p$ 为质数时，$\mathbb{Z}_p$ 是一个域——每个非零元可逆。

🗣️ 一句话封神

$a\equiv b\pmod{m}$——同余记号，用简洁的三字符代替了”两数之差可被某数整除”的十二字长文：符号的力量，在于思想的压缩。 数学学习的关键不在于刷了多少题，而在于是否建立了知识之间的联系——当不同模块的知识在心中形成网络，解题就不再是搜索记忆而是自然涌现。 真正的高手不是记得多少公式，而是能看到不同方法背后的统一思想——这就是数学的眼光。#### 🩺 一眼诊断

• 符号陌生型：第一次见到 $\equiv$ 不知道它和 $=$ 的区别与联系。→ 解释：$\equiv$ 是”模 $m$ 下的等号”——当 $m$ 足够大时，$\equiv$ 退化为 $=$；当 $m=1$ 时，全体整数都与0同余（平凡）。
• 负数遗忘型：写 $-3\equiv\ ?\pmod5$ 时回答 $-3$。→ 强调：同余关心余数，$-3$ 除以5的余数是 $2$，故 $-3\equiv2\pmod5$。
• 除法幻觉型：看到 $6x\equiv3\pmod9$ 就说两边除以3得 $2x\equiv1\pmod9$。→ 提醒：$\gcd(3,9)=3\neq1$，不能直接除。正确做法：$6x-3=9k\Rightarrow3(2x-1)=9k\Rightarrow2x-1=3k\Rightarrow2x\equiv1\pmod3$。
• 模数迷失型：写 $a\equiv b\pmod m$ 但忘了指定 $m$——“$a\equiv b$”没有模数就无意义。→ 同余必须有模数，没有模数的同余就像没有分母的分数。

🧭 导航路径

• 步行（L1-L2） → 对标
  1. 用同余记号表示：19和40除以7的余数相同。
     • 解答提示：$19\equiv40\pmod7$（$19-40=-21$ 是7的倍数）。

进一步引导：这个步骤的关键在于区分干扰信息和关键信息——题目中看似复杂的条件往往只有少数几个与分类判定直接相关，学会筛选信息本身就是重要的数学素养。

2. 判断 $23\equiv9\pmod7$ 是否正确。
   • 解答提示：$23-9=14$ 是7的倍数，正确。或 $23\div7=3$ 余 $2$，$9\div7=1$ 余 $2$，同余。

深度解析：这里运用的实际上是反证法的思想雏形——通过分析奇偶性矛盾来证明某些情形不可能发生。不变量思想与反证法结合，是竞赛中最强大的组合工具之一。

深度解析：这里运用的实际上是反证法的思想雏形——通过分析奇偶性矛盾来证明某些情形不可能发生。不变量思想与反证法结合，是竞赛中最强大的组合工具之一，也是数学证明的经典范式。

3. 已知 $a\equiv2\pmod5$，求 $a+10$ 对模5同余于几。
   • 解答提示：$10\equiv0\pmod5$，故 $a+10\equiv2+0=2\pmod5$。

思维延伸：将这个问题稍作变换——如果把条件中的某条规则改一下，结论是否还成立？这种改变条件观察变化的思维训练，有助于真正理解规则的本质。

进一步引导：这个步骤的关键在于区分干扰信息和关键信息——题目中看似复杂的条件往往只有少数几个与分类判定直接相关，学会筛选信息本身就是重要的数学素养。养成先筛选再判断的习惯，能大幅提升解题速度和准确性。

• 刚性达标阈值：基础概念通关，闭卷正确率≥90%
• 骑车（L3-L4） → 对标

  1. 证明：若 $a\equiv b\pmod{m}$，$c\equiv d\pmod{m}$，则 $a-c\equiv b-d\pmod{m}$。

     • 解答提示：$a-b=mk$，$c-d=ml$，则 $(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d)=m(k-l)$，故 $a-c\equiv b-d$。

  2. 求 $2^{100}\pmod7$ 的值。

     • 解答提示：$2^3=8\equiv1\pmod7$，周期3。$100=3\times33+1$，故 $2^{100}\equiv2^1=2\pmod7$。

  3. 解同余方程 $3x\equiv2\pmod5$。

     • 解答提示：两边乘以3模5的逆元2（因为 $3\times2=6\equiv1\pmod5$），得 $6x\equiv4\pmod5 \Rightarrow x\equiv4\pmod5$。

上述解答过程中，每一步推导的依据是该知识点的核心性质——准确把握每一步的逻辑基础，是确保解题正确性的关键。；这道题还可以从另一个角度切入：通过构造等价条件或转化视角，往往能得到更简洁的解法。；验证是解题的重要环节——将答案代回原题检验是否满足所有条件，既能确认正确性，也能培养良好的解题习惯。；这道题的核心考点是考查学生对基本概念的准确理解——只有概念清晰，才能从题目条件中识别出可用的结论。- 刚性达标阈值：进阶例题演练，正确率≥85%

• 开车（L5-L6） → 对标
  1. 证明：$1^2+2^2+\cdots+(p-1)^2\equiv0\pmod p$（$p>3$ 为质数）。
     • 解答提示：$1^2+2^2+\cdots+(p-1)^2=(p-1)p(2p-1)/6$。因 $p>3$ 是质数，$p$ 与 $6$ 互质，故 $(p-1)(2p-1)$ 被6整除。整个和是 $p$ 的倍数，即 $\equiv0\pmod p$。
  2. 求 $7^{7^{7}}\pmod{10}$ 的值。
     • 解答提示：模10下7的幂周期4：$7^1\equiv7$，$7^2\equiv9$，$7^3\equiv3$，$7^4\equiv1$。先求 $7^7\pmod4$：$7\equiv3\pmod4$，$3^2=9\equiv1\pmod4$，故 $3^7\equiv3^{2\times3+1}\equiv1\times3\equiv3\pmod4$。则 $7^{7^7}\equiv7^3\equiv3\pmod{10}$。
  3. 解同余方程组 $x\equiv2\pmod3$，$x\equiv3\pmod5$，$x\equiv2\pmod7$。
     • 解答提示：由中国剩余定理。从 $x\equiv2\pmod3, x\equiv2\pmod7$ 得 $x\equiv2\pmod{21}$（中国剩余）。设 $x=21k+2$，代入 $x\equiv3\pmod5$：$21k+2\equiv3\pmod5\Rightarrow k+2\equiv3\pmod5\Rightarrow k\equiv1\pmod5$。取 $k=1$ 得 $x=23$。答案：$x\equiv23\pmod{105}$。
  • 刚性达标阈值：竞赛真题演练，正确率≥80%